|
Система массового обслуживания состоит из некоторого
числа обслуживающих единиц или каналов, работа которых состоит в выполнении
поступающих по этим каналам заявок. Примеры систем массового обслуживания
весьма распространены на практике. Это различные телефонные станции, ремонтные
мастерские и проч. Вид и количество поступающих на эти системы заявок различны
и, вообще говоря, случайны. Теория массового обслуживания описывает закономерности
функционирования таких систем. Определение. процесс функционирования системы
массового обслуживания называется случайным процессом. Чтобы
оптимизировать процесс функционирования системы массового обслуживания его надо
изучить и описать математически. Теория массового обслуживания является очень
быстро развивающимся разделом теории вероятностей, т.к. ее применение на практике
чрезвычайно широко. Случайный процесс, протекающий в системе массового обслуживания
состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния
в другое. Меняется число заявок, число занятых каналов, число заявок в очереди
и проч. Определение. Если переход системы из одного состояния в другое
происходит скачком, а количество состояний системы (конечное или бесконечное)
можно пронумеровать, то такая система называется системой дискретного типа.
Если количество возможных состояний счетно, то сумма вероятностей нахождения системы
в одном из состояний равна 1. Тройные
интегралы 
Совокупность вероятностей pk(t) для каждого
момента времени характеризует данное сечение случайного процесса. Случайные
процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: c дискретным
или непрерывным временем. Если переходы системы из одного состояния
в другое могут происходить только в строго определенные моменты времени, то случайный
процесс будет процессом с дискретным временем, а если переход возможен в любой
момент времени, то процесс будет процессом с непрерывным временем. Поскольку в
реальности заявки на систему массового обслуживания могут поступать в любой момент
времени, то большинство реальных систем массового обслуживания будут системами
с процессом с непрерывным временем. Для того, чтобы описать случайный процесс
в системе с непрерывным временем необходимо прежде всего проанализировать причины,
вызывающие изменение состояния системы. Эти причины определяются потоком заявок,
поступающих на систему.
Поток событий.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Потоком событий называется последовательность событий, происходящих один за другим в какие- то моменты времени. Характер событий, образующих поток может быть различным, а если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным. Однородный поток можно изобразить последовательностью точек на оси, соответствующей времени: t1 t2 tnt Определение. Поток событий называется регулярным, если события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени. Определение. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок. Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Классический пример – “час пик” на транспорте.
Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если для любых неперекрещивающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, опадающих на другие. Отсутствие последействий означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда. Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.
Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события. Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток легко свести к ординарному.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Если поток событий стационарен,
ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским)
потоком. Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих
на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона
. В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек,
попавших попадающих на участок времени t, имеет вид: 
l - плотность потока – среднее число событий
в единицу времени. Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий,
равна
Вероятность того, что в течение данного времени
не произойдет ни одного события, равна: 
Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными
соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения 
В соответствии с законом распределения Пуассона,
получаем:
Математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение этой величины соответственно равны: 
Таким образом, для величины Т получили показательный
закон распределения.
|