|
Теория вероятностей. Основные понятия.
Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда. В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет. Задачи по Кузнецову
Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного. Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности.
Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений
Определение.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления
этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа,
благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных
исходов опыта, образующих полную группу событий. 
Исход опыта является благоприятствующим событию
А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события
А. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность
невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события
– есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 
Пример. В коробке находится 10 шаров.
3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый
наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого
шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие
А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием
с записанными выше формулами получаем: 
Отметим, что вероятность наступления одного
из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Определение. Относительной частотой события А называется отношение
числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность
вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота
– после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено
5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного
шара равна: 
Как видно, эта величина не совпадает с найденной
вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная
частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято
за вероятность события. Вообще говоря, классическое определение вероятности –
довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить
результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события
равновероятные. К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат
опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы
на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. Классическое
определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов.
Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности,
т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания
наугад взятой точки в отрезок равна отношению l/L.
|