|
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется
уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет
собой полный дифференциал некоторой функции 
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего
решение легко находится в виде: 
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; Примеры решения задач Кривизна плоской кривой
2) как найти эту функцию.
Если
дифференциальная форма 
является полным дифференциалом некоторой функции u,
то можно записать:
Т.е.
.
Поверхностный
интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит
физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.
При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция 
(x,y,z) скорости
жидкости. Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности
при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается
в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления
нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной.
Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
Проинтегрируем
равенство 
:
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
Откуда
получаем: 
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Решить уравнение 
Проверим
условие тотальности: 
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию u.
;
Итого,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.
Для
уравнения первого типа получаем: 
Делая
замену, получаем: 
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
|