|
Метод Лагранжа.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН, поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Примеры решения задач Производная функции, заданной параметрически
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
[an error occurred while processing this directive]
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Интегрируя, получаем:
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Решить уравнение 
Сначала
приведем данное уравнение к стандартному виду: 
Применим
полученную выше формулу: 
Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку 
, с помощью которой, уравнение Бернулли
приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на yn.
Применим
подстановку, учтя, что 
.
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
[an error occurred while processing this directive]
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Пример. Решить уравнение Разделим
уравнение на xy2: Полагаем
Полагаем
Произведя
обратную подстановку, получаем: Пример. Решить уравнение Разделим
обе части уравнения на Полагаем
Получили
линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему
линейное однородное уравнение: Полагаем
C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное
уравнение, с учетом того, что: Получаем:
Применяя
обратную подстановку, получаем окончательный ответ: 
.
|