|
Однородные уравнения.
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция 
Примеры решения задач Циклоида
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным, если его правая часть
f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно
своих аргументов.
Любое уравнение вида 
является однородным, если функции P(x,
y) и Q(x,
y) – однородные
функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение 
[an error occurred while processing this directive]
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к.
параметр t вообще
говоря произвольный, предположим, что 
. Получаем:
Правая часть полученного
равенства зависит фактически только от одного аргумента 
, т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
Далее
заменяем y = ux, 
.
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение 
.
Введем вспомогательную функцию u.
.
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна,
т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее
.
[an error occurred while processing this directive]
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем
переменные: 
Интегрируя,
получаем: 
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это уравнения вида 
.
Если
определитель 
то переменные могут быть разделены подстановкой
где
a и b - решения системы уравнений 
Пример. Решить уравнение 
Получаем
Находим
значение определителя 
.
Решаем
систему уравнений 
Применяем
подстановку 
в исходное уравнение:
Заменяем
переменную 
при подстановке в выражение, записанное выше, имеем:
[an error occurred while processing this directive]
Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.
Итого,
выражение 
является общим интегралом исходного дифференциального
уравнения.
В случае если в исходном уравнении вида определитель 
то переменные могут быть разделены подстановкой
Пример. Решить уравнение 
Получаем
Находим
значение определителя 
Применяем
подстановку 
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
Разделяем
переменные: 
Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
|