|
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом:
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.
Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Найти решение уравнения 
c начальными условиями y(0)=1,
y’(0)=0.
Решение
уравнения будем искать в виде 
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем: 
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
Окончательно
получим: 
Итого:
[an error occurred while processing this directive]
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные
начальные условия y(0)=1, y’(0)=0
подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим,
что 
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде 
и будем последовательно
дифференцировать его по х.
После подстановки полученных значений получаем:
|