|
Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности
называется числовым рядом.
При
этом числа 
будем называть членами ряда, а un – общим
членом ряда.
Определение. Суммы 
,
n = 1, 2, …
называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд
называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм.
Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
[an error occurred while processing this directive]
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда 
и 
, где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится
и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS.
(C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и 
. Суммой или разностью этих рядов будет
называться ряд 
, где элементы получены в результате сложения (вычитания)
исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S
+ s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
|