|
Уравнение теплопроводности.
Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:
Составим дифференциальное уравнение: Примеры решения задач Пример
Выражение 
называется
оператором Лапласа.
Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:
и называется уравнением теплопроводности в пространстве.
В качестве частных случаев рассматривают:
- уравнение
теплопроводности в стержне,
- уравнение
теплопроводности на плоскости.
В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне
искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному
уравнению, начальному условию 
и граничным условиям 
.
[an error occurred while processing this directive]
В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:
Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.
Уравнение Лапласа.
Определение. Функция 
называется
гармонической на области s, если она имеет непрерывные
частные производные второго порядка на области s и удовлетворяет условию
,
где D - оператор Лапласа.
Уравнение 
называется уравнением
Лапласа.
Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру 
, где f –
заданная функция, то внутри тела установится единственная постоянная температура.
С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может
быть доказан математически.
Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле.(Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик)
Решение задачи Дирихле для круга.
[an error occurred while processing this directive]
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию 
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и
при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем
Подставляя
это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее
решение первого уравнения имеет вид: 
Решение
второго уравнения ищем в виде: 
. При подстановке получим:
Общее
решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.
[an error occurred while processing this directive]
Если k = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно
получаем: 
При
этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
|