|
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях: Примеры решения задач Асимптоты
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:
[an error occurred while processing this directive]
Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:
Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:
где
Решение задачи Коши методом Даламбера.
( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)
[an error occurred while processing this directive]
В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение
решается только при начальных условиях:
Для нахождения решения введем новые переменные:
Тогда исходное уравнение принимает вид:
Решением
этого уравнения будет функция 
, где j и y - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.
Получаем: 
Если продифференцировать полученный ответ, получим:
Т.е.
.
Далее с использованием начальных условий находим функции j и y.
Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:
Тогда:
Решение задачи Коши получаем в виде:
Эта формула называется формулой Даламбера.
|