|
|
Уравнение колебаний струны.
Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.
Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.
Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.
Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как
u
C
На произвольный элемент длины нити (х, х + Dх) действуют две силы натяжения
и 
. При этом:
[an error occurred while processing this directive]
Если считать колебания малыми, то можно принять:
Тогда проекция силы на ось u:
Проекция силы на ось u:
Находим сумму этих проекций:
Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа к выражению, стоящему слева.
Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:
где r - плотность струны.
Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:
[an error occurred while processing this directive]
Или 
Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.
Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях
и краевых условиях
.
Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.
Функции f(x) и F(x) заданы.
Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l
|