|
Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок
старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет
некоторая функция 
, которая обращает уравнение в тождество. Примеры
решения задач Исследование функции
на экстремум с помощью производных высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
Классическая механика справедлива для любых тел, кроме элементарных частиц. Скорости движения тел должны быть малы по сравнению со скоростью света. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Постоянное электрическое поле Электрический заряд - характеристика частиц, определяющая интенсивность их электромагнитного взаимодействия
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка от функции можно в общем виде записать как
Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
, (1)
где Xi – некоторые заданные функции.
Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.
Рассмотрим систему уравнений:
(2)
или
- такая система
называется нормальной.
Общее решение этой системы имеет вид:
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
Каждая из функций j является интегралом системы (2).
Теорема. Если 
- интеграл системы (2), то функция 
- решение уравнения (1).
Классификация основных типов уравнений математической физики.
[an error occurred while processing this directive]
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
1)
Волновое уравнение: 
2)
Уравнение теплопроводности: 
3)
Уравнение Лапласа: 
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
|