|
Классификация точек покоя.
Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
Примеры решения задач Точки экстремума
Рассмотрим следующие возможные случаи:
1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.
Точка
покоя 
будет
устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что любое изменение магнитного потока Ф, пронизывающего замкнутый контур, вызывает появление индукционного тока в контуре.
2) Корни характеристического уравнения действительны и
или 
.
В этом случае точка покоя также будет устойчива.
3)
Хотя бы один из корней 
положителен.
В
этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым
седлом.
4)
Оба корня характеристического уравнения положительны 
.
В
этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым
узлом.
Если
полученного решения 
системы исключить параметр t,
то полученная функция 
дает траекторию движения в системе координат XOY.
Возможны следующие случаи:
[an error occurred while processing this directive]
b b
a a
Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.
5)
Корни характеристического уравнения комплексные 
.
Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.
Такая точка покоя называется центром.
Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.
Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.
|