|
Элементы теории устойчивости.
Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.
Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Примеры решения задач Интегрирование элементарных дробей Интегральное исчисление.
Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:
(1)
и
начальные условия: 
Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.
Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)
Если
правая часть дифференциального уравнения 
непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную
производную 
на области прямоугольника, ограниченного 
, то решение
, удовлетворяющее начальным
условиям 
, непрерывно зависит от начальных данных, т.е. для
любого 
, при котором если
то 
при условии, что
где
Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Если 
- решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым
по Ляпунову, если для любого 
, такое, что для любого
решения 
той же системы, начальные условия которого удовлетворяют
неравенствам
справедливы неравенства
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)
Т.е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t0.
Если 
, то
решение j(t) называется асимптотически устойчивым.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения системы можно свести
к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы,
которая получена из данной заменой неизвестных функций:
Тогда:
(2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение 
Теорема. Решение
системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову
тривиальное решение системы (2).
Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Точка покоя 
системы
(2) устойчива по Ляпунову, если для любого 
такое, что из неравенства
следует
.
Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
имеющая
тривиальное решение 
.
Пусть существует дифференцируемая функция 
, удовлетворяющая условиям:
1) ³0 и v = 0 только при у1
= у2 = … = уn =0, т.е. функция
v имеет минимум
в начале координат.
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
при
Тогда
точка покоя 
устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности
начала координат 
выполнялось условие
где
b - постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.
Функция v называется функцией Ляпунова.
|