Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

 

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

  Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

  Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 Методы интегрирования Примеры решения задач Способ подстановки (замены переменных) Интегральное исчисление.

Геометрическая оптика позволяет во многих случаях достаточно хорошо рассчитать оптическую систему. Но в ряде случаев реальный расчет оптических систем требует учета волновой природы света, расчет в рамках геометрической оптики дает приближенный результат, иногда неверный даже на качественном уровне.

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

  Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

  Итого, частное решение:

 

 

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

 

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.

 

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

  Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

 и

 

  Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

  [an error occurred while processing this directive]

Пример. Решить уравнение

 

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

 

1.      Для функции f₁(x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е. 

 

Итого:

2.      Для функции f₂(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f₂(x), получаем:

  Таким образом,

 

 

 

Итого:

 

  Т.е. искомое частное решение имеет вид:

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

  [an error occurred while processing this directive]

 

  Рассмотрим примеры применения описанных методов.

 

  Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

 Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

  Пример. Решить уравнение 

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: