|
Теоремы о среднем.
Теорема Лагранжа.
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e
a
< e < b, такая,
что 
.
Примеры решения задач Теорема Коши Теоремы о среднем
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Отношение
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
у
В
[an error occurred while processing this directive]
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.
Т.к.
, то 
, следовательно
Теорема доказана.
Определение. Выражение 
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
,
где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).
|