|
Формула Тейлора.
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.
Примеры решения задач Функция Примеры решения задач f(x) = ln(1 + x). Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула: Двойной интеграл в полярных координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
[an error occurred while processing this directive]
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:
(3)
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
…………………….
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:
[an error occurred while processing this directive]
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
y Как видно на рисунке, в
точке х = а значение мно-
f(x) Rn+1(x) гочлена в точности совпа-
дает со значением функции.
Pn(x) Однако, при удалении от точ ки х = а расхождение значе- ний увеличивается.
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).
Тогда можно записать:
Тогда, если принять a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:
где 0 < q < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
|