|
Кривизна плоской кривой.
 |
Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.
Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.
Определение: Средней кривизной Кср дуги
называется
отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги
.
Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.
[an error occurred while processing this directive]
Определение:
Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кривизны
при стремлении длины дуги
® 0.
Примеры решения задач Производная обратных функций Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Легко видеть, что если обозначить = S, то
при условии, что угол a - функция, которая зависит
от S и дифференцируема, то
Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина
.
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
y
B
Dj
Kcp = 
; 
;
Если
j = j(x) и S = S(x), то
.
В
то же время 
.
Для
дифференциала дуги: 
, тогда
Т.к.
. В других обозначениях:
.
[an error occurred while processing this directive]
Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).
 |
Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.
Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.
Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.
Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:
Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.
Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.
|