|
Параметрическое задание функции.
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:
,
Примеры решения задач Логарифмическое дифференцирование Дифференциальное исчисление функции одной переменной
производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).
Находим производные:
Теперь
можно найти производную 
.
Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из
производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует.
Такие значения параметра t называются критическими.
Инженерная графика, высшая математика, физика, информатика, электротехника
Для каждого интервала (t1,
t2),
(t2,
t3),
… , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной 
на каждом из полученных
интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.
Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.
В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.
Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме.
Окружность.
Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее
точки могут быть найдены по формулам:
0 £ t £ 3600
Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2
[an error occurred while processing this directive]
Эллипс.
Каноническое уравнение: 
.
В
C M(x, y)
Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать:
из DОВР и 
из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.
Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:
где 0 £ t £ 2p
Угол t называется эксцентрическим углом.
Циклоида.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
Пусть
окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических
соображений можно записать: OB = 
= at; PB =
MK = asint;
ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).
x = at – asint = a(t – sint).
Итого:
при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.
Если исключить параметр, то получаем:
Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.
Астроида.
Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.
 |
Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,
, 0 £ t £ 2p,
Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3
|