|
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
Примеры решения задач Односторонние производные функции в точке Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию
и построить
ее график.
[an error occurred while processing this directive]
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические
точки: x = 0; x = -
; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
[an error occurred while processing this directive]
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
- <
x < -1, y¢¢
< 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢
> 0, кривая вогнутая
<
x < ¥,
y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает
- <
x < -1, y¢ <
0, функция убывает
-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ <
0, функция убывает
<
x < ¥,
y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума.
Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
|