|
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Примеры решения задач Производная функции, ее геометрический и физический смысл Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Вообще говоря, кривая, неограниченно
приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке,
как показано на приведенном ниже графике функции 
. Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
[an error occurred while processing this directive]
Из определения асимптоты следует, что если
или 
или 
, то прямая х = а – асимптота
кривой y = f(x).
Например,
для функции 
прямая х = 5 является вертикальной
асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = 
- ордината точки N на асимптоте.
[an error occurred while processing this directive]
По условию: 
, ÐNMP
= j, 
.
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда
.
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к.
х®¥, то 
, т.к. b = const,
то 
.
Тогда
, следовательно,
.
Т.к.
, то 
, следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции 
.
[an error occurred while processing this directive]
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
Пример. Найти асимптоты и построить график функции 
.
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем
наклонные асимптоты: 
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и
построить график функции 
.
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
[an error occurred while processing this directive]
Найдем наклонные асимптоты.
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
|