Ядерное оружие | Теория атома Рабочая одежда кровельщика спец одежда и спец одежда для горничных. | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс высшей математики

Раскрытие неопределенностей. 

Правило Лопиталя.

 К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Примеры решения задач Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей

  Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

  Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

Моделирование цепей переменного тока

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

  Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

  Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

[an error occurred while processing this directive]

Пример: Найти предел .

; ;

.

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

 Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ; 

  Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

[an error occurred while processing this directive]

 Пример:  Найти предел .

; ;

 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

 - применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

  Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

  Пример: Найти предел .

Здесь y = x^x, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

  Пример: Найти предел .

; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;