Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.  

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.  

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.  В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.  Пример 2. Вычислить удельные теплоемкости с _v и с_p смеси неона и водорода. Массовые доли газов соответственно равны w₁=0,8 и w₂=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов взять из примера 1. Примеры решения задач Термодинамика

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.  Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.  

Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.  Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.     Пример. Определить ранг матрицы. ~ ~,  RgA = 2.  Пример: Определить ранг матрицы. ~ ~ ~,  Rg = 2. Пример. Определить ранг матрицы. ~, Þ Rg = 2.  Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.  Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.    Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;