|
|
Линейная лгебра.
Элементарные преобразования.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Миноры. Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
Алгебраические дополнения.
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор
, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют
квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где
Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной
к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем,
не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя
из определения произведения матриц, можно записать: AX = E Þ 
, i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i ¹ j, eij = 1, i = j . Таким
образом, получаем систему уравнений: 
, Решив эту систему,
находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А = 
, найти А-1.
Таким образом,
А-1=
.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных
матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
, где Мji-
дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Пример. Дана матрица А = , найти А-1.
det A = 4 - 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21=
2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21=
3/2; x22= -1/2
Таким образом, А-1=.
|