Угол между прямыми на плоскости.

  Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.  

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.  Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH₃ при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре. Примеры решения задач Термодинамика

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

  Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:   (1) Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.  Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана.  Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1. K₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.  Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.  Находим: k₁ = 3/5,  k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.   Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.  Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;   Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .  Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.  Для самостоятельного решения:  Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0, 3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.   Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.  Ответ: { x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;