|
Аналитическая геометрия
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. Пример 3. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t=4°C объем V= 1 мм3; 2) массу m1 молекулы воды; 3) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму шариков, соприкасающихся друг с другом Примеры решения задач Термодинамика
Определение.
Каждый ненулевой вектор 
(a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется
направляющим вектором прямой Ах + Ву + С
= 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1,
2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C =
0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В. Тогда уравнение
прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A =
0.
при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0 Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим:
или 
, где 
Геометрический
смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки
пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения
прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение
прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, 
,
а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С =
0 разделить на число 
, которое называется нормирующем
множителем, то получим xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С <
0. р – длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением
оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение
прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках: 
уравнение
этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) 
нормальное
уравнение прямой: 
; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.
Cледует
отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например,
прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает
на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой,
если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.
Уравнение
прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2
= 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит
по условию задачи. Итого: 
или х + у – 4 = 0.
Пример. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Уравнение прямой имеет вид: 
, где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Для самостоятельного решения: Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(-3, -4) и параллельных осям координат. Ответ: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.
|