Операция умножения матриц.  

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; .  Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Пример 5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l= 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус R большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d=2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль­ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто­янной частотой n₁=20 с^-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения n₂=1c^-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре­небречь. Масса m внешнего цилиндра равна 100 г. Примеры решения задач Термодинамика

А×Е = Е×А = А   Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица.  2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: (АВ)С=А(ВС).  3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.  4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB).  5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство: (АВ)^Т = В^ТА^Т, где индексом Т обозначается транспонированная матрица.   6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.   В четырехпроводной цепи при отсутствии сопротивления в нулевом проводе токи могут быть найдены по закону Ома в комплексной форме

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. А = ; В = А^Т=; другими словами, b_ji = a_ij.  В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)^T = C^TB^TA^T, при условии, что определено произведение матриц АВС.  

Пример. Даны матрицы А = , В = , С =  и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.   A^T = ; A^TB = × =  = ; aC = ; А^ТВ+aС = + = .

 Пример. Найти произведение матриц А =  и В = . АВ = × = . ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.  

Пример. Найти произведение матриц А=, В = АВ = ×= = .

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;