|
Уравнение плоскости в отрезках.
Если
в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D 
,
заменив 
,
получим уравнение плоскости в отрезках: 
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно
с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме. 
где 
- радиус- вектор текущей
точки М(х, у, z), Пример 2. Найти
молярную массу М смеси кислорода массой m1=25
г и азота массой m2=75 г. Примеры решения задач Термодинамика
- единичный
вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала
координат. a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого
перпендикуляра. В координатах это уравнение
имеет вид: xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0,
у0, z0) до плоскости
Ах+Ву+Сz+D=0 равно: 
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3;
12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C =
12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)
= 0. 
Если пренебречь сопротивлениями линейных проводов, то фазные напряжения приемника равны соответствующим линейным напряжениям источника питания, а они практически неизменны.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно
плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 
параллелен искомой плоскости.
Получаем: 
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,
-1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости
х + у + 2z
– 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости 
(A, B, C).
Вектор 
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали 
(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям,
а плоскости взаимно перпендикулярны, то 
Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к.
точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению
этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1
- 2×4 + D = 0; D
= -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x
- 7y – 2z – 21 = 0.
Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали 
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет
вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим
в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).
1)
Найти длину ребра А1А2.
2)
Найти угол между ребрами А1А2
и А1А4. 
3)
Найти угол между ребром А1А4
и гранью А1А2А3.
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3
как векторное произведение
векторов 
и
.
= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Найдем угол между
вектором нормали и вектором 
. 
-4 – 4 = -8.
Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b. 
4)
Найти площадь грани А1А2А3.
5)
Найти объем пирамиды.
(ед3).
6)
Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей
через три точки. 
2x + 2y + 2z – 8 = 0 x + y +
z –
4 = 0;
|