9. Разложение элементарных функций
в степенные ряды
Разложение 
.
Лемма. Если для
любого отрезка 
при любом 
, то 
.
Доказательство. Для произвольного
выберем 
так, чтобы 
. Применим к 
формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 
, где 
. По условию, 
и 
. По признаку
Даламбера ряд с членами 
сходится (
). Поэтому его общий член 
стремится к 0, значит и 
при 
. Ввиду произвольности
получаем, что 
.
Для получения разложения 
заметим, что 
, и для любого отрезка
. Поэтому лемма применима с 
,
и мы получаем: 
.
Примеры решения и офомления задач контрольной работы
Неопределенный интеграл
Пример . Найти интеграл
. Решение. Воспользуемся формулой
интегрирования по частям: 
.
Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Для нахождения разложения 
и 
учтем, что 
и в лемме можно положить 
.
Поэтому 
Разложения для
позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера.
Сначала дадим необходимые определения.
Если члены ряда 
- комплексные числа (
), то сходимость ряда 
означает, что одновременно сходятся ряды 
и 
.
Абсолютная сходимость ряда , по определению, есть
сходимость ряда 
, т.е. ряда 
.
Очевидные неравенства 
показывают, что абсолютная сходимость ряда
равносильна одновременной абсолютной сходимости
рядов ,
и абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают всеми свойствами
абсолютно сходящихся рядов с действительными членами.
Подставим в разложение для
вместо 
величину 
.
Тогда (пока формально) получим: 
. Группируя действительные
и мнимые слагаемые, получаем: 
.
Для обоснования законности наших
действий заметим, что ряд 
, как доказано выше, абсолютно сходится,
поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано
выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для 
.
Если в разложение для
подставить вместо число 
,
то получим: 
. Поэтому из двух полученных формул следует,
что 
. Кроме того, для любого комплексного
числа 
.
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Разложим 
в ряд как прогрессию при 
. 
. Тогда, интегрируя это разложение, получим:
. Это равенство справедливо при
. Кроме того, т.к. ряд 
сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится
и при 
.
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Далее, как и выше, при
. Поэтому, при
. Кроме того, ряд 
сходится. Значит, написанное выше разложение
имеет место и при 
.
Разложение 
.
Если обозначить 
,
то 
. Поэтому 
. Это разложение верно для всех 
,
где 
- радиус сходимости. Для нахождения используем формулу 
. Кроме того, без доказательства, отметим,
что при 
разложение справедливо и при 
,
а при 
- для .
В заключение приведем несколько
полезных следствий из разложения .
Следствие 1. Легко
видеть, 
. Поэтому 
при . Полагая
, получаем, что 
и 
. Этим разложением
можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы
Стирлинга.
Следствие 2. Формула
Стирлинга.
Приведем эту формулу без доказательства.
.
