дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа Оглавление

7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

 

Теорема. Пусть   на . Пусть . Тогда .

Доказательство. Требуется доказать, что  функция   непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, . По условию, при любом   функция  - непрерывная. Значит, . При выбранных   имеем:  , что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда. Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд  равномерно сходится к своей сумме  на отрезке   и все . Тогда   .

Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда  - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме  - непрерывная функция,   - также непрерывная функция. Тогда  . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что  при , т.к., по определению,  . Но . Поэтому при    и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть  на . Пусть . Тогда .

Теорема. (о почленном дифференцировании ряда).

Пусть:

1.                  ;

2.                  Ряд  сходится на   (и пусть его сумма обозначена );

3.                  Ряд  равномерно сходится на .

Тогда  или, иными словами, .

Доказательство. Обозначим   - сумму ряда . Тогда   - непрерывная на  функция. Поэтому   существует ее интеграл от  и он, по предыдущей теореме, равен  . Значит,   или .

Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть . Пусть ,  и пусть , . Тогда , или .

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;