Курс лекций математического анализа

5. Условная сходимость. Теорема Лейбница

Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд  расходится.

Теорема. (Лейбниц). Пусть для ряда  выполнены условия:

1.                  ;

2.                  .

Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству: .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с номером :  и заметим, что  , т.к. по условию 1 имеем неравенство: . Кроме того, . Все слагаемые в круглых скобках, а также , по условию 1 неотрицательны и, значит, .

Таким образом, последовательность  не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел . Кроме того, .

Осталось доказать, что .  и так как по условию 2 , . Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Вернемся к . Очевидно, что  и . По теореме Лейбница этот ряд сходится.

Теорема. (Признак Абеля). Если ряд  сходится, а числа   образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд   - сходится.

Без доказательства.

Теорема. (Признак Дирихле). Если частичные суммы ряда , т.е. суммы   ограниченны в совокупности (т.е. ), а последовательность   монотонно стремится к 0, то ряд  сходится.

Без доказательства.