Курс лекций математического анализа

4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда  вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем:  . Из полученного неравенства следует, что  и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды   и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды   и  тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов   и .