Курс лекций математического анализа

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда  

Теорема. Пусть   - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд  и интеграл   либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех  выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если  сходится, то . Тогда    и ,   ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное   выберем  так, чтобы . Тогда . Значит,   сходится.

 

Геометрическая иллюстрация теоремы.

 - площадь под графиком  на отрезке от 1 до .  - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и   - площадь “нижней лестницы”, под графиком.

 

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда .

Теорема. Сходимость ряда .

Ряду  соответствует функция .  сходится при  и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при  и расходится при .