Курс лекций математического анализа

20. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

 

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения  (1) достаточно знать фундаментальную систему решений  однородного уравнения  (2) и найти хотя бы одно решение  неоднородного уравнения. Тогда любое решение  неоднородного уравнения имеет вид: , где   - произвольные постоянные.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.

Пусть  (3), где  - многочлены,  - действительные числа. Согласно принципу суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида  (4). Тогда, решив каждое из уравнений  и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3).

Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число  корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (2).

В первом случае  не является корнем характеристического уравнения. Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде , где  - многочлен той же степени, что и многочлен .

Во втором случае, если  является корнем характеристического уравнения (2) кратности , решение уравнения (4) следует искать в виде , где  - многочлен той же степени, что и .

Эти два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать в виде , , где   - кратность  в характеристическом уравнении.

Если в правую часть  уравнения (1) входят слагаемые вида  (5), где  - многочлены, то можно искать решение уравнений  (6) в виде , где   - кратность корня  в характеристическом многочлене однородного уравнения (, если  - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов  равна наивысшей из степеней многочленов .

Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции.

Рассмотрим важный пример.

Пример. Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической силы: ,  - постоянные.

Корни характеристичского уравнения  равны . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения  состоит из функций .

Если , то решение исходного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение: , , откуда  , или , откуда . Тем самым, общее решение уравнения имеет вид . Здесь  - амплитуда свободных колебаний,  - частота свободных колебаний,  - амплитуда вынужденных колебаний с частотой . Чем ближе величина , тем больше амплитуда вынужденных колебаний.

Если же , то решение, согласно указанным выше правилам, следует искать в виде . Тогда  . Подставим в уравнение:  , или . Итак, общее решение уравнения имеет вид: . При  амплитуда колебаний возрастает неограниченно. Это – явление резонанса.