18. Метод вариации постоянных
Вернемся
к неоднородному уравнению 
(1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную
систему решений 
уравнения 
(2). Тогда, по теореме 9 (Билет 16), любое решение 
этого уравнения имеет
вид: 
(12). Предположим также, что нам
удалось найти некоторое решение 
уравнения
(1). По теореме 3, любое решение 
этого уравнения имеет
вид: 
, согласно (12). Итак, для нахождения
всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации
постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
(13), где
- фундаментальная система решений уравнения (2). Отметим, что (13) напоминает
(12), но имеет существенное отличие от этого равенства состоящее в том, что в
(12) все 
- постоянные, а в (13) это – неизвестные
функции от 
. Потребуем, чтобы кроме равенства
(13) выполнялись такие равенства: 
(14). Из (13) и (14)
следует, что 
; Конспект
по начертательной геометрии Метод проецирования Комплексные чертежи Позиционные
задачи Каталог иллюстраций 
и т.д., 
и, наконец, 
. Поэтому подстановка
в левую часть уравнения (1) дает 
, т.е. обращает уравнение
в верное равенство. Поэтому , определяемое
равенством (13) и системой условий (14) является решением уравнения (1). По теореме
1 это решение – единственное.
Для того, чтобы отыскать
следует воспользоваться
системой (14), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных
с определителем 
.
Решая систему, находим а затем, интегрированием, находим
.
