Курс лекций математического анализа

16. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

 

Определение. Любые   линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения   уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского  отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения   линейно зависимы тогда и только тогда, когда  на . Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений. Инженерная графика – это единственная дисциплина целью, которой является непосредственно обучение студентов работе с различной по виду и содержанию графической информацией, основам графического представления информации, методам графического моделирования геометрических объектов, правилам разработки и оформления конструкторской документации, графических моделей явлений и процессов.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку   и поставим  различных задач Коши: .

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим   - решение 1-й задачи,  - решение 2-й задачи, …,  - решение -ной задачи. Мы получили  - решения уравнения (2). Найдем  для этих функций: . Следовательно, по теореме 7, функции  образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть   - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения   этого уравнения существуют постоянные  такие, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку  и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных :  (11). Определитель этой системы  не равен 0, т.к.   - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка  включительно в точке   совпадают со значениями  и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , .

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства.