Курс лекций математического анализа

15. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

 

Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения   (2). Мы установим ниже, что оно имеет размерность .

Определение. Пусть   - функции, имеющие все производные до  порядка включительно. Определителем Вронского  функций   называется величина  (3).

Определение. Пусть   определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех   (4).

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что .

Теорема 5. Если   - линейно зависимы и имеют производные до  порядка включительно, то . Курс лекций Начертательная геометрия

Доказательство. По условию, существуют не все равные 0 числа  такие, что на   выполняется тождество  (5). Взяв производную от обеих частей, получим:  (6). Аналогично, , (7)  (8).

Рассмотрим произвольное . Равенства (5) – (8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных . Поскольку эта система имеет нетривиальное решение  (это означает, что не все  равны 0), ее определитель   должен быть равен 0, т.е. .

Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции , для которых  и их определитель Вронского  тождественно равен 0.

Однако если , то при любом   получаем , откуда , а при любом  получаем , откуда . Поэтому функции   и  линейно независимы.

Тем не менее, верна следующая важная теорема.

Теорема 6. Если   являются решением уравнения (2) и в некоторой точке , то   линейно зависимы на  (и, следовательно, ).

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :  (9). Ее определитель равен . По условию, . Значит, система (9) имеет нетривиальное решение . Рассмотрим функцию . По теореме 1,   является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать как условия задачи Коши, , которая, по теореме 1, имеет единственное решение. Вместе с тем, функция  также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10). Ввиду единственности, . Таким образом, существуют не все равные 0 постоянные   такие, что . Поэтому   - линейно зависимы на . Следовательно, по теореме 5,  на .