Курс лекций математического анализа

14. Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение  (1), где  - функции, непрерывные на некотором интервале .

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины  входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется линейным однородным  (2).

Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме:  и , соответственно, где величину  можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора   на функцию .

Теорема 1. Для любого  и любых  задача Коши  имеет единственное решение , определенное на . Начертательная геометрия входит в состав учебной дисциплины федерального значения, название которой в зависимости от специальности: «Начертательная геометрия и инженерная графика», «Инженерная и машинная графика» или просто «Инженерная графика».

Доказательство. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение  перепишем в виде . Соответствующая функция  имеет вид . Ее частные производные по   равны, соответственно  . Поскольку , по условию, непрерывны на , все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых , имеющиъ производные до порядка  включительно, и любых постоянных  .

Замечание 1. Иными словами,  - линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что  и .

Доказательство. Для любого   в силу известных свойств производной (при  под   понимается сама функция ).

Следовательно,    .

Следствие. Если   имеют производные до -го порядка включительно, а   - постоянные, то .

Доказательство. Воспользуемся индукцием по . При  по лемме 1 (при ). Если утверждение доказано при , то, по лемме 1,  (по индуктивному предположению) .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если  - решения уравнения, то   - тоже решение, и если  - решение, а   - постоянная, то  - тоже решение, т.е. .

По замечанию 2 к лемме 1, .