Курс лекций математического анализа

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения

Теорема. Пусть функция  определена и непрерывна в области . Пусть   непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения  с начальными условиями  (где точки  принадлежат области ) имеет, притом единственное, непродолжаемое (максимальное) решение.

Теорема сформулирована без доказательства.

Методы понижения порядка уравнения. Существуют разные методы снижения порядка (и, тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые. Инженерная графика, высшая математика, физика, информатика, электротехника

Если уравнение имеет вид  (т.е. не содержит , то введение новой переменной  уменьшит порядок уравнения, которое примет вид . Если удастся решить это уравнение, то  затем можно получить последовательным интегрированием  раз.

Если уравнение не содержит , т.е. имеет вид , то его порядок можно понизить, взяв  за независимую переменную и считая производную  функцией от . Поясним это на примере.

Пример. Решить уравнение . Пусть . Тогда , откуда ;  (пусть ); ; ; . Таким образом, . Далее находим: ; .