12. Линейное дифференциальное уравнение
1-го порядка.
Пример.
Разберем пример: 
.
Решим
сначала вспомогательное уравнение 
. Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися
переменными, имеющее решение 
. Для нахождения решения
исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Он состоит в
следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: 
,
где 
- некоторая дифференцируемая функция. Тогда
и, подставляя в уравнение, получаем: 
или 
. Интегрируя,
находим: 
. Тогда 
. Итак, мы нашли решение исходного уравнения.
Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании
и единственности решения задачи Коши (
- непрерывная функция от 
, а ее производная по 
,
равная 1, тоже). Виды проецирования Проекции точки Проекции
плоскости Многогранники Проекции кривой линии Практикум решения задач по начертательной
геометрии
В общем случае уравнения
, где 
- непрерывные
на 
функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала
решаем вспомогательное однородное уравнение: 
, 
(мы не рассматриваем
решение 
), откуда, обозначая 
любую первообразную для функции 
, находим, ограничиваясь случаем
, для определенности, 
, или 
. Далее используем
метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде 
. При этом 
. Подстановка в уравнение дает 
или 
. Интегрируем
и, обозначая 
первообразную для 
,
получаем 
. Тогда 
. Эту формулу иногда записывают в виде 
, понимая под знаком интеграла не все множество
первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.
Уравнения,
не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка
можно пытаться решать разными методами.
Во-первых,
можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или
нескольким уравнениям вида 
.
Например,
.
Уравнение, после преобразования к виду 
даст равносильную ему
совокупность 
, откуда 
.
Другой
способ – введение параметра.
Например,
уравнение 
можно решить так: введем параметр 
. Тогда 
, откуда 
. Но 
и мы приходим
к уравнению 
или 
. При 
из этого
уравнения получаем 
. Тогда 
и мы получаем параметрические
уравнения: 
. В этом случае параметр 
удается исключить: 
и 
- явное решение.
В случае 
из получаем 
.
Указанный
прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.
Уравнение
Лагранжа имеет вид 
, где 
- дифференцируемые
функции. Полагая 
, получаем 
. Дифференцируя, получаем: 
или 
, откуда
. Предполагая, что 
,
получаем уравнение 
, линейное относительно 
. Решаем его указанным выше методом и получаем
выражение для 
через
и произвольную постоянную 
. Тогда 
.
Уравнение
Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: 
. Вводя параметр , получаем 
(т.е. 
, как раз оставшийся случай), 
или 
. Тогда,
если 
, то 
и 
- это общее решение уравнения Клеро. Если
же 
, то 
. Тогда 
.
