11. Дифференциальные уравнения 1-го
порядка. Уравнение 
. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения
вида 
Дифференциальным
уравнением называется уравнение вида 
, где 
- функция, определенная в некоторой области
пространства 
,
- независимая переменная, 
- функция от , 
- ее производные.
Порядком
уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.
Функция
называется решением уравнения на промежутке 
, если для всех из выполняется
равенство: 
. Виды проецирования Проекции
точки Проекции плоскости Многогранники Проекции кривой линии Практикум решения
задач по начертательной геометрии
Интегральная
кривая – это график решения.
Пример
1. Решить уравнение 
. Его решение: 
определено на 
. Отметим, что эта постоянная – произвольная
и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.
Пример
2. Решить уравнение 
, где 
- непрерывная
на функция. Пусть 
- первообразная для . Тогда уравнение имеет бесконечное множество
решений на и все они имеют вид 
, где 
- произвольная
постоянная.
Есть прямой способ
выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобы для некоторой
точки 
выполнялось условие 
. Тогда, подставив 
в решение, получаем условие 
, определяющее 
и, тем самым, единственное решение 
с указанным условием.
Рассмотрим
значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пусть исследуемое уравнение
имеет вид: .
Это – уравнение первого порядка, разрешенное относительно 
.
(Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные
величины, в отличие от уравнения общего вида 
,
из которого выразить может быть и не удастся).
Сформулируем
важнейшую теорему.
Теорема.
(О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть 
- непрерывная функция в области 
, причем 
- также непрерывен в . Тогда для любой точки 
задача Коши: 
имеет решение, причем единственное в том
смысле, что если есть 2 ее решения 
и 
, определенные на интервалах 
и 
, содержащих точку ,
то они совпадают на пересечении 
этих интервалов.
Теорему
оставим без доказательства.
Замечание.
Говорят, что решение 
дифференциального уравнения на интервале
есть продолжение решения 
на 
, если 
и 
на . Также говорят, что решение 
- максимальное или непродолжаемое относительно ,
если не обладает продолжениями, целиком лежащими
в .
На
основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное
максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.
Геометрический
смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения
представляет собой - тангенс угла наклона касательной к графику
искомой функции в точке 
, а правая часть 
задает его численное значение
в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений
на области , т.е. к каждой точке 
прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной
кривой.
Поэтому
сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую
точку
проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.
Перейдем
к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде
получить их решения.
Уравнения
с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными
называются уравнения вида 
, где - непрерывна
на некотором , а 
непрерывна на 
, причем 
на . 
. Интегрируя
обе части, получаем 
. Обозначая 
любую первообразную для 
, а - любую первообразную
для , перепишем это уравнение в виде
. Это – искомая интегральная кривая.
Рассмотрим
некоторые примеры таких уравнений.
Пример
1. 
.
Очевидно решение 
. Если же 
,
то уравнение можно заменить таким: 
, откуда 
.
Если считать, что 
, то 
, откуда 
или 
. Аналогично,
при 
получаем 
.
Пример
2. 
.
- решение уравнения. При
имеем: 
, и 
. Аналогично,
при 
.
В
точках 
единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности:
- не непрерывен в 0.
Однородные
уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида
.
Для их решения требуется сделать замену 
, после чего получится
уравнение с разделяющимися переменными.
Пример.
. Оно имеет решение 
.
Пусть теперь 
. Преобразуем уравнение так: 
(правая часть имеет вид 
- это однородное уравнение). Полагаем . При этом 
и получаем уравнение 
. Значит, 
.
Уравнения
вида 
. Такие уравнения сводятся к однородным заменой
переменных. В случае, если прямые 
и 
пересекаются
в точке 
, то замена 
приведет уравнение к однородному. Если же
эти прямые не пересекаются, то 
и замена 
приведет к уравнению с разделяющимися переменными.
