Курс лекций математического анализа

10. Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

 

Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции   называются ортогональными на , если .

Термин “ортогональность” требует некоторых пояснений. Функции на отрезке   образуют (бесконечномерное) векторное пространство (сумма функций и произведение функции на число – это снова функция). Рассмотрим для интегрируемых функций величину   (1) и назовем нормой . Разумеется, это билинейная симметричная функция: Практикум решения задач по начертательной геометрии Виды проецирования Проекции точки Проекции плоскости Многогранники Проекции кривой линии

1.                  ;

2.                  ;

3.                  .

4.                  Кроме того, если рассматривать только непрерывные функции, из равенства   следует, что  на .

Действительно, если бы существовала точка  такая, что , то, ввиду непрерывности  существовало бы   такое, что при  для функции   было бы справедливо неравенство . Но тогда .

Поэтому для непрерывных функций   величина (1) представляет собой скалярное произведение.

Если рассмотреть более широкий класс, чем непрерывные функции, то свойство 4 уже не имеет места. Например, для отличной от тождественного нуля функции  на   выполняется равенство .

Однако, если   - кусочная непрерывная функция, то можно доказать, что из равенства  следует, что   равна 0 всюду, кроме конечного числа точек, где она имеет устранимый разрыв.

Таким образом, величина (1) по своим свойствам близка к скалярному произведению.

Система функций   - ортогональная на , если  при . Система функций называется ортонормированной на , если .

Если рассмотреть символ Кронекера , определяемый так: , то условие ортонормированности можно записать так: .

Если ортогональная система функций  не содержит функций с нулевой нормой, то система  - ортонормированная.

Действительно, .

Обобщенные ряды Фурье. Пусть  - ортогональная на   система функций. Пусть  представляет собой равномерно сходящийся на  ряд . Найдем коэффициенты . Для этого вычислим   (ввиду равномерной сходимости)  (ввиду ортогональности) . Поэтому   .

Однако коэффициент   некоторой функции  можно вычислять по этой формуле и без предположения о сходимости ряда . Этот коэффициент называется коэффициентом Фурье относительно системы , а ряд  называется рядом Фурье функции . Мы пока не говорим о сходимости этого ряда к , а говорим лишь о том, что функции  можно поставить в соответствие ее ряд Фурье, и записываем это так: .

Мы вернемся к этому важнейшему вопросу о сходимости немного позднее.

Тригонометрические ряды Фурье. Пусть отрезок имеет длину . Для определенности, пусть это отрезок . Рассмотрим следующую систему функций:  .

Теорема. Рассматриваемая система функций является ортогональной.

Доказательство. Требуется доказать, что при   и что при всех  

Проверим первое из этих равенств. Остальные получаются совершенно аналогично.   (т.к. .

Замечание. Легко вычислить, что на  . Например, .

Предположим теперь, что   определена на  и периодически продолжена на всю числовую ось. Сопоставим ей ряд Фурье по тригонометрической системе: , где .

(Важнейший частный случай: , тогда тригонометрическая система имеет вид . Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам  и ряд Фурье, соответствующий , есть ).

Вернемся к вопросу о сходимости ряда Фурье.

Теорема. Пусть   - периодическая функция (с периодом ),   - кусочно непрерывны на  (т.е. ограничены на этом промежутке и имеют не более чем конечное число точек разрыва, причем только первого рода). Тогда ее ряд Фурье:  сходится при любом , причем , если  - точка, где   непрерывна.  в точке разрыва (символы  означают , соответственно).

Эта теорема приводится без доказательства ввиду его технической сложности (хотя это и одна из самых простых теорем о сходимости).

Рассмотрим особенности разложений в ряд Фурье, присущие четным и нечетным функциям.

Лемма. Если   - четная интегрируемая функция, то , а если   - нечетная интегрируемая функция, то .

Доказательство.  (замена )  (ввиду четности) . Аналогично,  (ввиду нечетности).

Теорема. Разложение в ряд Фурье четной функции  содержит только косинусы кратных дуг (т.е. все коэффициенты ). Разложение в ряд Фурье нечетной функции  содержит только синусы кратных дуг (т.е. все ).

Доказательство. Следует только заметить, что если  - четная, то  - четная, а   - нечетная функция и если  нечетная, то   - четная, а  - нечетная функция. Применение леммы доказывает теорему.

Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример. Разложим в ряд Фурье  на интервале . Эта функция – нечетная, поэтому в разложении все . Интегрируя по частям, находим   (здесь использовано то, что ).

Обратим внимание на еще один часто встречающийся тип задач.

Пример. Разложить функцию  на интервале   по косинусам кратных дуг. В качестве  рассмотрим . Эту задачу не следует путать с разложением в ряд Фурье функции   на интервале . При таком разложении тригонометрическая система имела бы вид , и разложение содержало бы как функции , так и функции . Не следует также видеть в этой задаче противоречие с разобранным выше примером. Там ведь функция была задана на , и была нечетной на этом интервале. В рассматриваемом случае мы должны сначала доопределить  на интервале   (в нашем случае это будет ) так, чтобы получилась четная функция .

Разложение   содержит только косинусы. Рассматривая это разложение только при , получаем решение исходной задачи. При .

Разложим   на . Это – четная функция. ,  . . Поэтому при  получаем искомое разложение   по косинусам кратных дуг.