Курс лекций математического анализа

1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

 

Пусть   - последовательность чисел. Рассмотрим величины  (1).

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд  (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же   не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины  называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.

Пример.  (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры:  . Если , то  при  и , т.е. ряд сходится. Если , то   при  и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид .  и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда . Виды проецирования Проекции точки Проекции плоскости Многогранники Проекции кривой линии Практикум решения задач по начертательной геометрии

Утверждение. Ряд (2) сходится Û   остаток  - сходится.

Доказательство.

 сходится Þ сходится . Но  - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится Þ существует . Но  частичная сумма   ряда  имеет вид . Величина   не зависит от . Кроме того,   при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема.  (1).

Примечание. Поскольку   (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при  получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве   выберем число . Берем любое   и любое . Пусть . Тогда  .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и   - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы  ,  получим, что частичные суммы рядов  равны соответственно   ,  и . Эти величины имеют пределы  , , . Теорема доказана.