|
Два замечательных предела.
Покажем,
что 
(1) Где х
– измеряется в радианах.
Рассмотрим окружность радиуса R=1 и центральный угол 
A Х 0 С В D |
 т.к. хорда окружности меньше стягиваемой ею дуги, т.е.
 , откуда  , т.е.  , для  |
С
другой стороны площадь кругового сектора ОАВ
меньше площади 
. 
или 
. Поэтому 
для т.к. 
для 
или 
(2) Эти последние
неравенства не изменятся при замене х на –х, т.е. они будут справедливы
в проколотой 
- окрестности т.
х=0. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора: 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Так как функция 
непрерывна в т. х=0,
т.е. 
, то из неравенств
(2) с учетом теоремы о lim двух легавых вытекает формула (1).
Примеры: 1)
2)
Т.е.
формула (2) полностью доказана.
Полагая в формуле 2 
(если 
) и применяя теорему о замене переменной
в пределе получим другое представление 2 замечательного предела: 
(2’)
Следствия:
1) 
(3) - третий замечательный предел.
Запишем второй замечательный предел
по формуле (2и прологарифмируем его по основанию e: 
здесь 
так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим:
или 
2)
(4) здесь
в частности при
Положим 
Откуда 
; при 
т.к. показательная функция 
непрерывна в точке Пользуясь теоремой о
замене переменной в пределе и формулой (3) имеем
Полагая
в формуле (4) a=e приходим к формуле (4’)
3) 
Аналитическая геометрия плоскости и поверхности
Курс лекций Векторная алгебра. Электронные
учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple
Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное
исчисление функции
Дифференциальные уравнения первого порядка Теория
вероятностей. Основные понятия
Математический анализ Двойной интеграл Геометрический
смысл производной
Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая
геометрия Функции графики задачи
Курс лекций Примеры задачи Интегрирование
и дифференцирование матрицы
;
