|
Определение
1. (по Гейне) Постоянное число А
называется пределом функции f(x)
в точке 
(или при
) если для 
последовательности
такой, что 
и 
соответствующая последовательность значений функций 
сходится А. Пишем: 
Определение
2. (по Коши) Постоянное число А
называется пределом функции 
в точке (или при 
) если для произвольного
числа 
найдется число 
такое, что из условия 
(1) вытекает
неравенство 
.
Определение 2. (в кванторах)
Комментарий
к определению по Коши. Означает, что
значение функции будут как угодно
мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение
аргумента близки к .
Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны.
Геометрическая
интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: 
то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми 
и 
, найдется интервал 
, такой
что все точки графика 
с абсциссами из этого
интервала (кроме быть может точки с абсциссами 
) окажутся внутри данной полосы.
Подчеркнем,
что определение Коши не требует, что бы функция была определена
в точке , поэтому в определении
речь идет о проколотой 
- окрестности точки
- 
(окрестность точки
радиуса ). 
. (
- показывает что 
).
Примеры:I.
, 
рассмотрим две последовательности
ясно, что первая
последовательность стремится к 0 при 
и вторая
так же стремиться к 0 при . Но:
; 
Очевидно, 
, 
. Видим,
что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы 
. Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция
в точке предела не имеет.
II. 
При
имеем: 
Выбираем
произвольно и положим 
, тогда 
влечет или в символах: 
, т.е. 
. Видим, что предел функции в точке
x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно
ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.
Непрерывность функции в точке.
Определение
2. Функция называется непрерывной в точке если:
(2). Это определение
предъявляет функции следующие требования:1)
функция должна
быть определена в точке и некоторой
ее окрестности.2)
Функция должна
иметь в точке предел.3)
Этот предел должен совпадать со значением
функции в точке . Определение
2 означает, что для непрерывности в точке функции знаки lim и f
функции перестановочны, т.е. 
. Предел функции равен
функции от предела аргумента. Если хотя
бы одно из трех требований предъявляемым к функции в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция разрывна в т. или имеет в т. разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности кроме быть может т.. Тогда т. - называется
точкой разрыва функции .
Определение
2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции
т.е. кривой .
Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги. x На рисунке: 
тогда
, т.е. Возвращаясь к функции
, можем сказать, что в точке нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность
в т. и не имеет
предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. . Возвращаясь к
пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому
функция разрывна. Если бы мы придали функции
в точке 
значение 2, то измененная таким образом функция оказалась
бы непрерывной в т. .
Аналитическая геометрия плоскости и поверхности
Курс лекций Векторная алгебра. Электронные
учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple
Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное
исчисление функции
Дифференциальные уравнения первого порядка Теория
вероятностей. Основные понятия
Математический анализ Двойной интеграл Геометрический
смысл производной
Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая
геометрия Функции графики задачи
Курс лекций Примеры задачи Интегрирование
и дифференцирование матрицы
;