дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

I. т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид . (8) На любом отрезке , где в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена (9)

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e (9’) II. т.к. , то формула Маклорена имеет вид ; (10). Здесь n – нечетное число x – в радианах.

Очевидно, что на любом отрезке справедлива следующая оценка остаточного члена: (11) III. Т.к. ; , то формула Макло-рена имеет вид: ; (12). Здесь n – четное число на любом отрезке имеет очевидно для остаточного члена оценку (11). IV. Т.к. , то формула Маклорена имеет вид: (13) где остаточный член имеет вид: в форме Лагранжа. (14) для значений имеем оценку, переходя в (14) к модулям: ; (15) Для значений можно доказать, что имеет место оценка: (16).

V. , где Т.к , то формула Маклорена имеет вид: ; (17) В частности когда (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .

Примеры:

1) Вычислить приближенно с помощью дифференциала и оценить погрешность этого приближения. Запишем теперь формулу Тейлора с n=1 (положим здесь a=60°, x=61°, тогда ) имеем: предыдущее вычисление проведено с точностью до одной тысячной, таким образом с точностью 0,001.2) при каких x справедливо с точностью до 0б0001 приближенная формула . Погрешность этой приближенной формулы согласно (12) , откуда: таким образом приближенная формула при заданной точности вычислений, справедлива для таких x, что 3) Вычислить с точностью 0,001 здесь Оценивая остаточный член в формуле (17) , находим, что достаточно взять n=2; тогда: и |проделывая это и округляя до 3-го знака| » 2,926 (с точностью до 0,001). Локальные формулы Тейлора. Локальная формула Тейлора-Маклорена позволяет эффективно исследовать поведение функции в окрестности данной точки, в частности вычисляя запишем ее для элементарной функций + (асимптотическое разложение).I. II. III. IV. V.