Курс лекций математического анализа

Логарифмическое дифференцирование.

Определение.  Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма. тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: . Рассмотрим степенную функцию   Имеем   тем самым формула (7) доказана. Применив прием логарифмического дифференцирования, мы можем вычислить производную показательно-степенной функции . Имеем, функции u(x) v(x) дифференцируемыми в т. x, а функцию u(x)>0 в некоторой окрестности т.x:  (23).

Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей. Дифференцирование неявной функции. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y. При некоторых условиях это уравнение определяет единственную функцию  называемая неявной функцией, задаваемая исходной функцией. Тогда . при дифференцировании применим теорему о производной сложной функции. В результате получиться линейное уравнение относительно y’ уравнение, решая которое находим y’.

 Примечания.1) Если производные  и  удовлетворяют всем условиям доказанной теоремы, то правило Лопиталя-Бернули может быть повторено.

2) Правило Лопиталя остается оправданным если .

3) Предел отношения функции  может $ и без того, чтобы $ предел относительно их производных.

4) Правило Лопиталя-Бернули остается в силе, когда  и   при . Итак, правило Лопиталя-Бернули, когда оно применимо позволяет раскрыть неопределенности типов: и .

5) Сравнение при помощи правила Лопиталя-Бернули поведения при  функции: показательно , степенной  и логарифмической  показывают, что показательная функция имеет более высокий порядок роста, чем степенная – более высокий порядок роста чем логарифмическая. .

Другие типы неопределенностей.

1)

 или же  и применяется правило Лопеталя-Бернули.

2) , если при ,  - ББ при , если же  при , то имеем неопределенность типа . Неопределенности типов  раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и вычисления предела логарифма функции  что приводит к неопределенности типа .

 Примеры. 1)

2)

. Рассмотрим: |это отношение не имеет предела при | правило Лопиталя-Бернули не применимо. Найдем предел А непосредственно. 0

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;