дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа

Правила дифференцирования обратной функции.

Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о обратной функции и имеет в точке производную , тогда обратная функция так же имеет производную в соответствующей точке и справедлива формула (6).
Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке приращение тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение в точке будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при (при этом в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ). Следовательно предел слева также и по определению производной есть производная . Окончательно: . Геометрическая иллюстрация. имеем:

Производные основных элементарных функций. 1. , где (7) эта формула будет доказана позже. 2.

; (8)

(9)

формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно. 3.

y=tg(x); где

y=ctg(x)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9). 4. где (12) ; перейдем к lim при пусть при (2-ой замечательный предел).

Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции или , если a=e . . 5.

y=arcsin(x) (13)

y=arccos(x) (14)

т.к. на то корень арифметический по теореме о производной обратной функции (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью 6.

y=arctg(x) (15)

y=arcctg(x) (16)

по теореме о производной обратной функции . Формула (16) доказывается аналогично. 7. где по теореме о производной обратной функции имеем таким образом ; (17).