Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия | Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа

Геометрический смысл производной

Определение Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль графика(при этом стремится нулю). Предположим, что кривая имеет в точке касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную или, в силу непрерывности функции

Таким образом, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке . Запишем уравнение касательной . Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T) В частности, если то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь. Заметим, что если производная функции в точке бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение . Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т). Следовательно, уравнение касательной имеет вид: - уравнение нормали (N)

Дифференцируемость функции в точке.

Определение Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид: (4) где: А - постоянное число - бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда имеет место равенство (4). Считая , из (4) получим: переходим к пределу при : , т.е. в точке х₀ существует конечная производная. Обратно Пусть в точке х₀ функция имеет конечную производную . Обозначим её А, она равняется: , - откуда , где - БМ при . Умножая обе части на последнее уравнение, приходим к уравнению (4), т.е. f(x) в точке х₀ дифференцируема. q.e.d. Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так).

Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x₀). Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х₀ Док-во: q.e.d. Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно. Достаточно рассмотреть . Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы равна 0: Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение 2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции также дифференцируемы в точке х: (в случае частного, считаем ).q.e.d. Док-во: q.e.d. Аналогично для левой верхней кривой устанавливаются пределы

Вертикальные асимптоты.

Предположим, что в точке x=a по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x) бесконечен: (А) тогда точка M(x,f(x)) графика функции y=f(x) удаляется по этому графику в бесконечность, а её расстояние от прямой x=a стремится к нулю. Следовательно, согласно определению асимптоты, прямая x=a является асимптотой (вертикальной) кривой y=f(x).Очевидно, что обратно, если прямая x=a является асимптотой кривой y=f(x), то хотя бы одно из условий (А) выполняется.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x₀ и x₀ +Dx лежат на этом промежутке

Определение 1: Производной функции в точке x₀ называют предел (если он существует и конечен):

Если в точке x₀ выполняется условие: то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀бесконечную производную. В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2: Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ правую ( resp. левую) производную, если существует предел:

Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;