Курс лекций математического анализа

Примеры применения теорем:

1)

Определение. Если  то говорят, что б.м. α имеет порядок k относительно б.м.. Из этого определения следует, что б.м. имеет 1-й порядок малости относительно себя. Обычно в качестве «масштабной б.м.b» выбирают простейшую б.м. равную х-а при , или равную

_{Имеем: Б.м. называется главной частью б.м. .}

_{Примеры: Пусть “масштабной” б.м. является}

_{1) главная часть б.м.  и  имеет 6-й порядок малости относительно x.}

_{2)  главная часть б.м.  и  2-го порядка малости относительно x. 3)  главная часть б.м.  и  имеет относительно x порядок . Аналогично сравнению б.м. проводится и сравнение б.б. при . Только здесь говорят о более высоком или более низком порядке роста одной б.б. относительно другой или же об одинаковом порядке роста двух б.б. В частности: две б.б. функции называют эквивалентными при , если их предел их частного равен 1 при . Пример: Пусть  масштабная б.б., а  при  нужно найти: главную часть . - главная б.б.  и   имеет 2-й порядок роста относительно . Не следует думать, что любые две б.м. (любые две б.б.) можно сравнить между собой. Пример: б.м.  и   несравнимы между собой при , т.к.  не существует. Свойства функций непрерывных на отрезке. Непрерывность обратной функции. Функции, непрерывные на отрезке обладают рядом свойств, которые, вообще говоря не присущи функциям непрерывных на других промежутках.}

_{Теорема1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.}

_{Теорема 2. (Вейерштрасса) Среди значений непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) существует наименьшее (m) и наибольшее (М)}    

_{Теорема 3. Пусть  непрерывна на отрезке [a,b] и , тогда найдется хотя бы хотя бы одна точка для любого значения С между A и B , для которой . Иными словами функция f(x) принимает любое промежуточное значение между двумя данными. В частности если А и В – числа противоположных знаков, то полагая С=0, получим f(с)=0 (теорема об обращении в 0 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков).}

_{Другое следствие теоремы 3. Непрерывная на отрезке[a,b] функция принимает по крайней мере один раз любое промежуточное значение между m и М}

Теорема 4.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и строго возрастает(строго убывает) на отрезке [a,b] то обратная ей функция x=g(x), существует, непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [m,M] Точки разрыва функции. Их классификации. Определение 1. x=a называется точкой разрыва функции y=f(x) если не имеет место равенство f(a-0)=f(a+0) = f(a) Пусть точка а – точка разрыва функции f(x). Если существуют односторонние пределы f(a-0), f(a+0) и они конечны, то точка а называется Точкой разрыва первого рода. Если при этом f(a-0)=f(a+0), т.е. в т. а функция имеет предел, то точка а называется точкой устранимого разрыва. В этом случае разрыв в точке а может быть устранен, если положить , такая процедура продолжением функции по непрерывности, преобразованная таким образом функция является непрерывной в точке а. Определение 3. x=a называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если точка не является точкой разрыва 1-го рода, другими словами в точке разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов функции f(a+0) или f(a-0) не существует или бесконечен. Пример 1.

Рассмотрим функцию .

Функция имеет разрыв 2 рода в точке x=0. y(+0)=+¥ y(-0)=0 Эту функцию, если угодно, можно сделать непрерывной в т. x=0 слева, положив y(0)=y(-0) Приметр 2. Функция  имеет в точке x=0 разрыва 2 рода т.к. она не имеет в этой точке односторонних пределов.  Пример 3. Функция  имеет в точке x=0 устранимый разрыв, т.к.  функцию можно сделать непрерывной, положив Асимптоты графика функции. Определение Прямая называется асимптотой кривой L: y=f(x), если при удалении точки M(x;y) по кривой L в бесконечность ее расстояние до прямой стремится к 0. Различают 2 вида асимптот: 1) асимптоты вида y=kx+b или наклонные ( т.е. не параллельные оси Оу) среди них иногда выделяют асимптоты у=в, называемые горизонталями. 2) асимптоты вида x=а, или вертикальные, т.е. асимптоты параллельные оси Оу. Рассмотрим в общем виде вопрос об отыскании асимптот. Пусть правая ветвь линии L:y=f(x) имеет наклоную асимптоту у=кх+в. Из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки (х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 находится по формуле . Применяя эту формулу, растояние от точки M(x;f(x)) до асимптоты найдем как .
По определению асимптоты должно быть.

 _{Вычислив k, находим b: Итак, если прямая y=kx+b асимптота, то k и b вычисляются полученными формулами. Верно и обратные формулы. Если lim для k и b существует, то выполняется цепочка предыдущих равенств и следовательно  и y=kx+b – асимптота графика функции y=f(x).}

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;