Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.
Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция:
, где 
-
непрерывные на 
функции,
L - граница области G
и направление обхода L выбрано
так, что область G остается слева.
Пусть 
.
Тогда 
.
Знак 
означает,
что контур интегрирования L - замкнутый.
Доказательство. Вычислим 
.
При каждом фиксированном 
величина
определяется,
как производная по y функции от
одной переменной y, P(x,y).
Поэтому при каждом x применима
формула Ньютона-Лейбница, согласно которой 
.
Поэтому 
.
Разобъем кривую L на 4 участка.
. 
.
Поэтому 
.
Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция
, где 
-
непрерывные на 
функции,
L - граница G,
а направление обхода L выбрано
так, что G остается слева.
Пусть 
.
Тогда 
.
Доказательство. 
.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если область G можно представить
как в виде трапеции ,
где - непрерывно
дифференцируемые на функции,
так и в виде ,
где - непрерывно
дифференцируемые на функции,
L - граница G,
причем при ее обходе область G
остается слева, то 
.
Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное.
Например, круг 
,
ограниченный окружностью 
,
можно задать так: 
,
а можно и так: 
.
Следствие 2. Если область G можно разбить
кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и
L - граница G,
причем направление обхода выбрано так, что область G
остается слева, и P и Q
удовлетворяют перечисленным выше условиям, то 
.
Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G
разбивается на 2 части 
,
удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой 
.
Пусть 
ограничивает
, а 
ограничивает
. Тогда
,
поскольку 
-
это часть L и кривая ,
а 
- остаток
L и кривая ,
но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим
добавленным участкам сократятся).
Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми
кусочно-гладкими кривыми.
